【摘要】本文论述培养高中生数学运算素养的策略，阐述数学运算素养的内涵，分析影响学生数学运算素养发展的原因，提出重视运算，让学生积累运算知识、明晰算理、靈活选择运算方法、养成严谨的运算习惯以及重视反思运算过程和结果等教学建议。
【关键词】核心素养 数学运算 策略
【中图分类号】G63 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2022）11-0118-03
《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称课程标准）强调“高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人的根本任务，提升学生数学学科核心素养”，突出了培养学生数学学科核心素养的重要性，指出“数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学学科核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体”。数学运算是六大数学学科核心素养之一，它不但对培养学生解决实际问题的能力、养成一丝不苟的科学精神具有重要的作用，还影响着其他核心素养的养成。数学运算贯穿整个高中阶段的学习，学生在运算中经常出现“会但不对、对但不全、全但不优”的现象，导致数学问题的解决并不如人意，因此有必要探索培养学生数学运算素养的策略。
一、数学运算素养的内涵
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。数学运算是解决数学问题的基本手段。数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础。数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。通过高中数学课程的学习，学生能进一步发展数学运算能力;有效借助运算方法解决实际问题;通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。
二、影响学生数学运算素养发展的原因分析
（一）数学运算知识掌握不到位
数学运算知识包括：数学的概念和原理（包括性质法则、公式定理等），数学思想方法及数学技能等，如果学生对基本的数学运算知识理解不透彻，将会直接影响其数学运算能力的发展，造成数学学习困难。比如，求方程log3（x-1）+log3（x+1）=2的解。很多学生的答案为x=±[10]，但是正确答案为x=[10]。学生之所以出现这样的运算错误，主要是因为没有注意到真数大于0，定义域为{x|x>1}。此处的运算错误是由于学生对对数的概念掌握不好造成的。又如，有些学生会认为2a+b=cosB等价于2sinA+sinB=cosB，导致运算错误。学生会犯这样的错误，主要是对正弦定理理解不到位，认为a=sinA，b=sinB。还有些学生在解题过程中求解方程x2+（2-a）x-2a=0的根时，不懂得通过十字相乘法将等式左边因式分解成（x+2）（x-a），导致最终无法算出答案。在数学学习中，如果学生没能充分理解基本的运算知识，就会直接影响做题的正确率和速度，也会影响学习数学的兴趣和自信心。
（二）数学运算信心和意志不强
与初中数学运算相比，高中数学运算难度大、运算容量大。有些学生认为自己不够聪明学不好数学，导致对数学学习失去信心，不敢做数学运算;有些学生由于基础运算知识不过关，在数学运算过程中经常遭遇失败，出现畏难心理，害怕数学，形成恶性循环。另外，还有些学生觉得圆锥曲线和导数等题目的运算太复杂，对自己没有信心，认为自己就算花时间计算也不会得出正确结果，反而浪费时间，所以一看到圆锥曲线和导数题直接选择放弃，久而久之，这些学生只会简单运算，稍微难一点的数学运算就都做不了了。
（三）数学运算错误的归因和反思不到位
“学然后知不足，教然后知困。知不足，然后能自反也;知困，然后能自强也”。可见反思的重要性。有些学生在每次测试后的反思环节，总是认为自己是因为计算粗心才丢了很多不该丢的分数。其实不然。学生计算丢分，不一定是粗心造成的，也有可能是因为数学运算知识存在缺漏，以及不明白运算的道理，不会探究运算思路，不能灵活选择运算方法，只会强行计算，导致运算复杂，很难得出正确答案。学生对运算的归因和反思停留在表面，他们不能进行深入分析和深刻反思，因而数学运算能力无法得到真正提高。
（四）教师不重视数学运算的训练
学生的运算能力比较薄弱，除了学生自身的因素，还可能是教师不够重视对学生数学运算素养的培养造成的。由于教学任务重，课时不足，教师认为基本的运算学生应该都会，不需要花太多精力讲解，因而把更多的精力放在其他素养的培养上，对数学运算素养培养重视不足。学生面对简单的题目时会因为没注意取值范围导致丢分，面对难一些的题目则无法选择合适的算法，硬算却算不出来正确结果。学生暴露的这些问题，反映出教师平时对学生缺乏有效的引导。教师不够重视，学生更加不重视，他们只了解解题过程，不亲自思考运算，导致数学运算素养没有真正培养起来。
三、数学运算素养的培养策略
（一）重视数学运算，积累数学运算经验
教师在进行概念、定理、公式法则等教学时，要强调数学运算的重要性，让学生在思想上给予重视;结合典型例题和变式训练帮助学生理解数学运算对象、法则，掌握数学知识。教师可以精选易错例题和变式训练题让学生进行课堂辨析、训练，还可以借助希沃授课助手等信息技术的拍照上传功能，展示典型错误和优秀范例，全班学生充当小老师一起分析、纠错、完善运算过程，帮助学生不断掌握和巩固数学运算知识，从而更深刻地理解运算对象，更好地掌握运算法则，不断积累运算经验。
（二）明晰数学运算的算理
在数学学习中，教师不但要帮助学生掌握基本的运算技能，还要注重引导学生明晰数学运算背后的算理。
【例1】在△ABC中，AC=3，AB=4，∠BAC=[π3]，[AD=2DB]，P为CD上一点，且满足[AP]=[mAC]+[nAB]，若[AP]·[CD]=[1312]，则m-n的值是 .
学生算不出此题的答案，或者花了大量的时间进行运算，主要原因就是没有掌握算理。题目考查的是向量运算，转化后方可简化运算。第一次转化，由[AD]=2[DB]，得出[AB]=[32][AD]，[AP]=[mAC]+[nAB]=[mAC]+[3n2AD]，因为D、P、C三点共线，且A是直线外一点，得m+[3n2]=1;第二次转化，[AP]·[CD]=（[mAC]+[nAB]）（[23AB-AC]）=[1312]，将[AP]，[CD]分别用[AC]和[AB]表示，最后只需要算出[AC]·[AB]，即可再得出m和n的等量关系，解出m和n。学生解题时不懂得分别用[AC]和[AB]表示[AP]和[CD]，而是直接运算[AP]·[CD]=（[mAC]+[nAB]）·[CD]=[1312]，导致运算变得很复杂。
在向量教学中让学生仅仅掌握基本的向量运算知识是不够的，教师还要在运算教学中有意识地渗透化归思想和消元思想等数学思想，让学生明白运算背后的算理，从而简化数学运算，提高学生运算的速度和正确率，培养学生的数学运算素养。除了在向量教学中向学生明晰算理，教师在教学其他解析几何内容时也可以通过精选例题，有意识地引导学生观察、分析式子的特点，再引导学生感悟数形结合思想、化归思想以及消元法等数学思想方法在简化运算中起到的强大作用。
（三）灵活选择数学运算方法
学生在运算时灵活选择运算思路，可以优化数学运算，将复杂问题变简单，提高运算效率。因此，教师有必要對学生进行数学运算指导。优化数学运算应具有以下几个特征：一是普适性，即通性通法，它可以解决某一类问题，揭示该类问题的本质特征与结构;二是重要性，在解题过程中涉及重要内容与重要方法，对学生的学习具有重要价值;三是自然性，算法应是自然的、容易想到、易理解的，教师易教，学生易学;四是简洁性，解题思路与解题过程简洁流畅;五是奇异性，所得算法既在意料之外，又在情理之中。
【例2】已知等差数列{an}的前n项和Sn，若[S11S11-S5]=3，则[a6a11]= .
此题主要有两种运算思路。思路一：借助公式Sn=na1+[n（n-1）d2]和an=a1+（n-1）d，将所求用a1和d表示，再进行化简。大部分学生采用此种方法进行化简，但是算了很多遍也算不出正确答案，运算量较大，不易得出正确答案。思路二：将Sn=[n（a1+an）2]展开，再结合等差数列的下标和性质进行运算，此种方法比较简洁且自然。S11-S5=a6+a7+…+a11=3（a6+a11），S11=[11（a1+a11）2]=11a6代入化简得[a6a11]=[92]。虽然两种思路都能算出正确答案，但是很明显思路二更简明、快捷，也具有普适性。
看似简单的运算问题，如果不加思考，盲目运算，就会使简单变复杂。在教学中，教师可以借助一题多解，引导学生探究运算思路，分析不同解法的优劣，引导学生学会对所求目标进行分析，跳出固有思维，灵活选择运算方法。
（四）养成严谨的数学运算习惯
数学是一门严谨的学科，数学运算考查了学生思维的严密性，所以教师要有意识地培养学生严谨的运算习惯。有些学生的草稿纸上的内容密密麻麻、乱七八糟，导致他们不仅容易出现运算错误，而且当他们想要回头检查运算过程时，找不到原来的解题过程、需要重新运算，运算效率低下。因此，教师要引导学生养成认真书写运算过程、合理使用草稿纸的习惯。另外，引导学生适当进行口算也是必要的。口算可以锻炼学生的思维能力和记忆能力，提高运算速度。此外，在课堂教学中，培养学生养成检验的习惯，有利于培养学生思维的严密性，使其养成严谨的做事态度。在数学运算中，有时候会算出两个解，这时候需要学生具有检验的意识，思考多余的解是否需要舍去，特别是在三角函数运算中，更需要注意运算的条件和范围，力求严谨;在求轨迹方程中，也要注意轨迹方程中变量的范围，注意参数方程和普通方程转化前后是否等价等。
（五）重视运算过程和结果的反思
学生在学习中对典型的运算问题进行再回顾和反思，能更好地提升自身的运算能力。教师应引导学生养成写错题本的习惯。写错题本，不是把所有错过的题目记录到错题本，把答案抄写一遍，而是学生对自己运算错误的原因、运算过程和结果，进行合理分析和反思。
【例3】已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bcos（[2π3]-A）=c.
（1）求角A;
（2）设a=3，求△ABC周长的取值范围.
对问题（2），学生的错误运算过程如下：
由（1）知，A=[π3]，a=3，故由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得9=b2+c2-bc≥2bc-bc，即bc≤9时，当且仅当b=c=3时，bc最大值为9时，b+c最大值为6，所以△ABC周长的最大值为9。
虽然学生算对了△ABC周长最大值是9，但这纯属巧合，他们的运算过程是不正确、不严谨的。bc取得最大值时，b+c不一定是最大值。解答此题可以运用基本不等式进行处理，通过转化构造关于b+c的一元二次不等式，即由9=b2+c2-bc，得（b+c）2-9=3bc，3bc≤3·（[b+c2]）2，即（b+c）2-9≤3·（[b+c2]）2，当且仅当b=c=3时，b+c≤6，所以a+b+c≤9。最后，算出周长的范围还要注意运算结果的严谨性，思考是否还有什么限制条件。联想到三角形两边之和大于第三边，b+c>a，即b+c>3，所以a+b+c∈（6，9]。
教师应引导学生注重对运算过程和结果进行反思，鼓励学生将典型的运算错误分类整理写进错题本。分类整理好的错题本，时不时要拿来翻看一下，加深记忆。通过反思整理典型运算，不断积累和总结经验，发展数学运算素养。
在高中阶段，培养学生的数学运算素养是一个非常重要且艰巨的教学任务，运算素养的培养不是一蹴而就的，需要循序渐进地渗透。教师需要结合课程标准要求，多钻研、多思考，并结合教学实际，采取科学有效的方法。培养学生的数学运算素养不仅仅是为了完成教学任务，更重要的是在此过程中培养学生严谨的做事态度，增强他们自主解决问题的能力，使之成为适应社会现代化需要的新时代人才。
参考文献
[1]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2014.
[2]马文杰，姜涛.数学运算能力培养应注意的若干问题研究[J].数学教育学报，2021（6）.
作者简介：蒋秋樱（1994— ），广西南宁人，硕士研究生学历，一级教师，研究方向为学科教学（数学）。
（责编 刘小瑗）
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