陈敏婕
“方程与不等式”是初中数学的核心内容之一，也是进一步学习函数与解决实际问题中数量关系的常用工具。“一元二次方程”作为“方程与不等式”板块的代表性内容，历来是中考关注的焦点。下面就以一元二次方程为例，谈谈它在近年中考试卷中的典型考法，以期对同学们的中考备考有所帮助。
一、关注基本解法和算理
通过对近年中考有关方程部分考题的分析，我们发现，其主要考查方程的基本解法以及解答过程中每个环节的运算依据，厘清算理。
例1 （2021·浙江丽水）用配方法解方程x2+4x+1=0时，配方结果正确的是（ ）。
A.（x-2）2=5 B.（x-2）2=3
C.（x+2）2=5 D.（x+2）2=3
【解析】整理，得x2+4x=-1，
配方，得x2+4x+4=-1+4，
从而（x+2）2=3。
故选D。
【点评】对一元二次方程的解法考查，我们应关注其基本解法，如开平方法、配方法、公式法等。本题明确要用配方法解决问题，则应重点注意运用配方法的关键环节。当二次项系数为1时，配的常数项是一次项系数一半的平方。
例2 （2021·浙江嘉兴）小敏与小霞两位同学解方程3（x-3）=（x-3）2的过程如下框：
你认为他们的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”;若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程。
【解析】小敏：×;小霞：×。
正确解答：移项，得3（x-3）-（x-3）2=0，
提取公因式，得（x-3）（3-x+3）=0，
则x-3=0或3-x+3=0，
解得x1=3，x2=6。
【点评】解方程过程中，要关注每一步等价变形的合理性，做到有理有据。小敏在变形过程中，“两边同除以（x-3）”，利用了“等式的基本性质”，即“在等式两边同时除以一个不为0的数，等式仍然成立”。但此处的代数式（x-3）可能为0，小敏未考虑到这种情况。弥补方法，可以针对（x-3）是否为0展开分类讨论。小霞的解法，整体“提公因式”法，这种方法是可取的，但在细节处理上，去括号时未将（x-3）看成整体，导致运算错误。
二、注重基本概念的辨析
在方程概念的辨析中，要理解“方程的解”的含义，即“满足方程的未知数的值，叫作方程的解”。此外，对于特定的方程，如“一元二次方程”，要满足二次项系数不为0的条件。对于“一元二次方程的根的情况”，我们还需要借助“根的判别式”加以判断。
例3 （2021·甘肃白银）已知x=1是一元二次方程（m-2）x2+4x-m2=0的一个根，则m的值为（ ）。
A.-1或2 B.-1
C.2 D.0
【解析】把x=1代入方程（m-2）x2+4x-m2=0，得m-2+4-m2=0，整理，得m2-m-2=0，
解得m1=-1，m2=2。
∵（m-2）x2+4x-m2=0是一元二次方程，
∴m-2≠0，∴m≠2。
∴m=-1。
故选B。
【点评】本题考查“一元二次方程”以及“一元二次方程的根”的概念。将方程的解直接代入原方程，求得m的值。需要特别注意的是，该方程的身份是“一元二次方程”，意味着二次项系数不为0，还需对求得的值进行取舍。对于隐藏的条件，同学们需要格外留意。
三、强化基本关系的梳理
对于一元二次方程来说，“根与系数的关系”（即韦达定理）有着非常重要的地位。虽然现行教材将其列为“阅讀”材料，但由于它对同学们后续学习有着重要影响，因此，也成为中考的热点内容，需要引起足够重视。
例4 （2021·江苏南京）设x1，x2是关于x的方程x2-3x+k=0的两个根，且x1=2x2，则k= 。
【解析】方法一：根据题意，知x1+x2=3x2=3，则x2=1。
将其代入关于x的方程x2-3x+k=0，得12-3+k=0，解得k=2。
方法二：由韦达定理知，x1+x2=3，x1x2=k。
∴x1+x2=3x2=3，解得x2=1，
∴x1=2x2=2，∴k=x1x2=2。
【点评】由韦达定理可知“两根之和”与“两根之积”。方法一是求出一个根后直接代入原方程求得k，方法二是将韦达定理一用到底，此时的k就是两根之积。
例5 （2021·北京）已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0。
（1）求证：该方程总有两个实数根;
（2）若m>0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值。
【解析】（1）∵a=1，b=-4m，c=3m2，
∴Δ=（-4m）2-4×1×3m2=4m2。
∵不论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，
∴原方程总有两个实数根。
（2）∵x2-4mx+3m2=0，
即（x-m）（x-3m）=0，∴x1=m，x2=3m。
∵m>0，且该方程的两个实数根的差为2，∴3m-m=2，∴m=1。
【点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程。第（1）问，对根的判别式的使用，我们只要通过计算，必要时借助配方法判断正负性即可。第（2）问的要求较高，熟悉因式分解法方可快速解出一元二次方程的两个根。此问还可借助“韦达定理”求解，留给同学们自己思考。
（作者单位：南京师范大学附属中学邺城路初级中学）
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