李娅 苑佳 李美生 薛玉梅
摘 要：作为数学教师，其职责不仅仅是教会学生数学知识，更重要的是通过教学过程，使学生建立严谨的数学思维，引导他们主动探索和思考，锻炼分析问题、解决问题、理论和实践相结合等能力，从而培养出国家建设迫切需要的多层次创新型人才。通过一个案例在各个教学环节的应用与拓展，精心设计问题与解决方法，潜移默化训练学生的各方面能力，使他们的数学素养和综合素质得到均衡发展和逐步提高。
关键词：数列;单调有界定理;导数;变量可分离方程;种群模型
中图分类号：O172 文献标识码：C
1 概述
经典的高等数学或数学分析教材中，在数列的极限部分，通常会采用数学实例引入数列及其极限的定义[12]，然后讲解数列相关知识，而此后相关的例题大多为纯粹的数学问题。而在整个微积分的教学过程中，除函数的极值最值问题以及积分的物理应用和几何应用部分之外，也很少涉及与其他领域或者实际问题有关的应用性问题。
本文以一个具有生物背景的应用性问题为例，详细介绍此问题在数列和微分方程应用的教学设计。通过这样的案例设置，一方面从广度上，激发学生的学习兴趣的同时拓展学生的数学视野，让学生了解科学研究的最前沿方向以及数学在其中发挥的重要作用;另一方面，在解决问题的过程中，锻炼学生的逻辑分析能力和实践动手能力，启发学生积极思考和勇于探索，培养终身学习的能力，顺应国家现代化建设所需的多层次创新型人才培养的需求。
2 案例设计
设计所采用的案例具有生物上的应用背景，根据研究对象的不同分别表现为离散形式和连续形式。两种形式下的案例均可结合高等数学各个阶段的教学重点知识进行研究和探索，故本案例将贯穿整个高等数学的学习过程，多次引用和拓展深入，在分析问题和解决问题的过程中，培养学生多方面的能力。
2.1 数列极限的案例设计和教学目标
例1[3] 有些昆虫种群的生长规律可以用如下的递推公式表示：pn+1=kpn（1-pn），其中0
1表示第n代种群的数量占环境所能容纳的最大种群数量的比例，k为单位种群的自然增长率。
步骤一：取p0=0.5，分别取k=0.5，1.5，3.2，3.45，38，用Mathematica软件绘制数列{pn}，学生观察：数列{pn}是否有极限？若有，极限值是多少？若没有，数列{pn}是否有一定的变化规律？
观察可得：当k=0.5，1.5时极限存在，其中一个极限为0，一个极限非零;当k=3.2，3.45时极限不存在，但数列取值呈现周期性变化的趋势;当k=3.8时极限不存在，且数列的值随机变化。
步骤二：学生思考：对于极限存在的情况，是否可以用理论推导的方式求极限？如何求？
方法：利用单调有界定理证明极限存在性，然后求极限（板书或PPT展示过程）。
步骤三：取k=3.8，将p0的值作一个微小的扰动（例如减少0.001），用Mathematica软件绘制数列pn，学生观察：与步骤一中同一参数对应的数列的图像进行比较，观察图像如何改变，是否有一定规律。
观察可得：此数列对初始值的选取非常敏感。
知识拓展及理论类比：混沌理论。
此时数列所表现出来的随机性和对于初值的敏感性等特点，表明此种群系统处于混沌状态。混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系，而必须用整体，连续的数据关系才能加以解释及预测之行為。在混沌系统中，初始条件十分微小的变化，经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。蝴蝶效应是混沌现象的典型例子，一只蝴蝶今天在北京扇动翅膀，可能在大气中引发一系列事件，从而导致某个月纽约一场暴风雨的发生。
步骤四：学生思考：从观察和推导的数学结论能得出关于昆虫种群生长的什么结论？
分析可得：数列pn的变化趋势即代表种群数量的变化趋势。当种群的自然增长率比较低（k=0.5）时，最终种群数量会逐渐缩小直至种群消失;当自然增长率增加（k=1.5）时，种群数量最终趋向于固定规模;当自然增长率继续增大（k=3.2，3.45）时，种群数量呈现周期性变化的趋势;自然增长率增大到一定程度（k=3.8）时，种群数量呈随机变化的趋势。从本例看出，实际问题可以转化为数学问题，然后利用数学工具进行研究，然后将研究结果与实际问题去对应，从而解决实际问题。
总结：本例具有很强的应用背景，通过本例的展示，使学生了解数学与其他学科的交叉和应用，也使得相对枯燥的数学知识更加有趣，激发学生的积极性。本案例充分体现了科学研究的基本思路和方法：发现规律，主动思考，分析问题，解决问题。借助引导式、启发式的教学方法，帮助学生透过现象看本质，循序渐进地发现问题并一一解决，是对学生科学研究能力的基本训练，同时也提高了学生的自信心，坚定他们不畏困难、勇闯难关的信念。同时本案例的展示，为学生提供了多样化的现代学习方式，引导学生充分利用计算机的优势辅助解决问题。对混沌知识的拓展，扩大了学生的知识视野，多维度地展现一个丰富多彩的世界。
2.2 常微分方程的案例设计和教学目标
例2 在某些种群数量研究中，如果种群生长和繁殖不同于昆虫种群具有按季节或者年份的规律，则可将种群的生长看作是连续的，此时可将种群数量看作是关于时间t的函数。记x（t）为时刻t时的种群数量占环境所能容纳的最大种群数量的比例，则由导数定义，种群的增长率可表示为x′（t）。通过对影响种群增长的因素进行分析，一般可用如下方程表示种群的变化：x′（t）=kx（1-x），k为单位种群的自然增长率，这个方程在种群动力学中称为Logistic模型，是研究连续变化的种群增长规律的最基本模型。
步骤一：学生思考：如何研究种群数量随时间变化的趋势？
分析：转化为常微分方程求解。
求解方法1：软件数值求解。设x（0）=a，取a=0，0.5，1，k=0.5，1.5，3.8，用Mathematica软件求解对应的微分方程初值问题并绘制解的图像。
a=0
a=1
a=0.5
此模型所对应的微分方程初值问题，并根据结果分析种群变化趋势。
从上述结果可以看到，若初始时刻种群数量为0，则后续种群数量也为0，此结果从生物角度上看也是显然的;若初始时刻种群数量为环境所能容纳的最大值（a=1），则种群数量保持不变;若初始时刻种群数量介于0和最大值之间，则最终种群数量将增至最大值，其趋势不随自然增长率的取值不同而不同。
求解方法2：理论求解。板书或PPT展示利用变量分离法求解得到：x（t）=aekt1-a+aekt。
则种群的变化趋势可以通过研究limt→+
x（t）=0，若a=0或k<0，
a，若k=0，
1，若a>0且k>0.
理论求解和数值求解的优缺点比较：理论求解得到的结论更加系统全面，可以将所有参数取值可能出现的情况一一列举;数值求解的优越性体现在其结果更直观，计算速度更快，特别是对于一些无法用理论求解的方程，数值求解是研究解的性质的最常用工具。
步骤二：知识拓展。
数学建模的思路拓展：本案例从函数导数的物理意义出发，将种群数量随时间变化的变化率用函数表示，建立微分方程并研究解的性质，从而间接得到种群数量关于时间变化的规律。研究结果在生态保护、害虫防治、人口控制等方面均有重要的理论和实用价值。除种群模型外，科学家们还利用类似的方法研究其应用性问题，如弹道与飞机轨迹、电子装置设计、神经网络、传染病传播等等。
例如，很多传染病具有这样的特点，易感者从染病之后到发展到有症状可以传播传染病之前，存在一个潜伏期，因此可根据传染病特点建立S（易感人人群）E（潜伏期人群）I（感染者人群）R（康复者人群）传染病模型：
dSdt=-rβSIN，
dEdt=rβSIN-aE，
dIdt=aE-γI，
dRdt=γI.
通过对模型的研究，可以深入了解流行病学基本参数，如基
本再生数、平均潜伏期、平均传染期、非典型患者占比和流
行趋势，包括流行时间、疫情拐点、流行规模等，其结果对
传染病的传播、控制和免疫提供有力的理论支撑。
连续系统的混沌拓展：美国气象学家Lorenz在研究大气运动的时候，通过对对流模型简化，建立了如下模型，我们称之为Lorenz模型[7]：
dxdt=σ（y-x），
dydt=ρx-y-xz，
dzdt=xy-βz.
Lorenz模型也是混沌领域的经典模型，系统中选择合适的参数，系统会进入混沌状态，表现出和离散系统类似的对初值的敏感性（见下图）。
x（0）=-16，y（0）=-21， z（0）=33 x（0）=-16，y（0）=-21， z（0）=33.00001
总结：
本案例与上一案例类似，也是研究生物种群生长这一应用问题，均为通过数学建模的方法，将应用问题转化为数学问题，并利用数学工具进行研究，但由于种群生长特点不同，从而体现出的形式也由离散形式转化为连续形式。采用微分方程建模，然后利用数学工具研究种群变化规律是种群动力学的主要研究方法。本例所讨论的Logistic模型，是种群动力学中最基础的模型，由此可以进一步延拓，根据所研究的重点，构造新的模型进行研究。因此本例的作用除用作一个典型的变量可分离方程的例题之外，更重要的是透过此例向学生介绍最新最前沿的数学研究方向和研究方法，开拓学生的数学思维，提高他们的学习热情。而在知识拓展部分，介绍了连续系统的混沌现象，与上一例中离散系统的混沌现象相呼应，进一步拓宽了学生的知识面。此外，向学生介绍利用数学工具对疾病的传播以及免疫隔离措施的评估等方面所取得的進展，培养学生的国际视野。
结论
国家的现代化建设需要学校培养出优秀的高层次创新型人才，因此教育工作者在知识的传授过程中，不应拘泥于教会学生课本的知识，而是需要将理论知识和实际应用相结合，将经典理论和前沿方法相结合，在教学过程中锻炼学生的自主思考、自主探索和灵活利用所学知识解决问题的能力，这样培养出来的学生才能更加适应未来的学习和工作的多方面需求。种群动力学模型是数学在其他学科的一个典型应用，里面涉及的一些研究方法是高等数学的内容，故在整个教学过程中的不同知识点讲授部分以这样的模型作为例子，相比一般的理论性题目更为生动有趣，提高了学生的积极性。通过精心的教学设计和安排，循序渐进、分重点、分层次地训练学生多方面的能力，最终达到综合素质的提升。
参考文献：
[1]孙玉泉，文晓，薛玉梅，苑佳，杨义川.工科数学分析：上册[M].北京：北京航空航天大学出版社，2019.
[2]吴纪桃，魏光美，李翠萍，柳重堪.高等数学：上册[M].2版.北京：清华大学出版社，2011.
[3]STEWART J.微积分：下册[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.
[4]BRAUER F，CASTILLOCHAVEZ C.Mathemathical models in population biology and epidemiology[M].2版.New York：Springer，2010.
[5]唐三一，肖燕妮，彭志行，沈洪兵.新型冠状病毒肺炎疫情预测建模、数据融合与防控策略分析[J].中华流行病学杂志，2020（4）：480484.
[6]黄森忠，彭志行，靳祯.新冠肺炎疫情控制策略研究：效率评估及建议[J].中国科学：数学，2020，50（6）：885898.
[7]Larence Perko.Differential equations an dynamical systems[M].2版.New York：Springer，1996.
作者简介：李娅（1978— ），女，山东聊城人，博士，副教授，从事生物数学研究;苑佳（1981— ），女，河南周口人，博士，副教授，从事偏微分方程和调和分析研究;李美生（1964— ），女，北京人，博士，副教授，从事神经动力系统研究;薛玉梅（1968— ），女，福建福清人，博士，教授，从事符号动力系统和分形研究。
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