摘要：当下的数学教学并没有将蕴含在数学知识中的数学文化充分发掘出来，致使数学教育没有达到应有的育人之义。深刻理解“什么是数学文化”“为何要实施文化数学”以及“如何实施数学的以文化人”，具有重要的现实意义。教师应提升对数学文化的认识，掌握必要的方法，并将数学文化深入课堂、融入生活，从而实现立德树人的学科育人目标。
关键词：数学文化;数学教育;学科育人
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2021）09A-0009-05
2021年各地的数学高考试卷中有不少关于“数学文化”的试题，这是一个很好的导向。形而上者谓之道，形而下者谓之器，道器不离，无形的道，恰好就存在于有形的器物之中，这犹如数学文化之于数学知识。反思我们的数学教学，如果没能将蕴含在概念、符号、定理、公理、公式中的思想、方法、情感、态度、价值观以及数学精神和智慧等挖掘出来，没有将蕴含在数学知识中的数学文化发掘出来，那么我们的数学教育就是“买椟还珠”式的教育。数学中的知识是数学文化的载体，让学生通过知识感受数学的精神，才是数学教育应该达到的境界。当下的数学教学最大“时弊”就是急功近利，过于强调教育的工具理性，脱离其“育人”本质而异化为“制器”。具体表现为：过于关注数学的科学性而忽视数学的人文性，过于强调数学的工具理性而忽视其价值理性，过于强调数学知识的传授而忽视数学所包含的思维、方法、原则和精神，过于强调知识的课时教学而割裂了数学的整体性。重视数学文化课程的建设和数学的“以文化人”，可以在一定程度上起到纠偏作用[1]。
《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：将数学文化融入教学，有利于激发兴趣、开拓视野、帮助学生理解数学、提升核心素养。高中数学新课程标准对数学文化的价值给予了充分肯定，并要求数学文化应尽可能地与高中数学课程内容有机地结合。
一、何谓数学文化
什么是数学文化，在学界至今没有一个被广泛认可的定义。据统计，在1871～1951年间，关于文化的定义就有164种之多。至于数学，主要有两种定义：一种是课程标准引用的恩格斯在《反杜林论》中对数学的定义——数学是研究数量关系和空间形式的一门科学;另一种就是西方的主流观点，即“数学是关于模式和秩序的科学”[2]。随着时间的推移和数学研究对象的变化，数学的定义不断地发生着变化。通过梳理，关于数学文化，大致可以从数学学科、文化、数学共同体、数学活动和系统五个角度来认识和定义。基于以上五个向度，我是这样认识和理解数学文化内涵的：数学文化是指包含数学家、研究人员和数学教师等在内的一群人，根据共同认可的规则从事数学活动，经过长期的沉淀，形成的关于数学知识、数学思想方法、数学精神、数学观点、思维方式以及它们在形成发展过程中与社会和各种文化的关系[3]。其中显性的东西是数学中的概念、定义、定理、公式、公理、法则等，它们以能够看得见的形式表现数学，而隐藏在背后或深处的数学文化则以隐性的方式反映数学。
二、数学文化为何
（一）历史和时代的呼唤
多年来，许多有识之士呼吁我们的数学教学，不能流于简单的形式训练，不能疏于对数学文化的教学。已故著名数学家柯朗曾经多次呼吁：无意义的单纯演算和习题训练，无助于学生对数学的真正理解和学习者思维能力的提高;当下广泛存在对数学研究的过度专门化、抽象化和长期以来对数学应用的忽视，以及忽略数学与其他领域之间联系的状况，这种“有知识，没文化”的课必将激起人们强烈的反感[4]。和柯朗持同样观点的数学家、社会学家大有人在。
此外，时代呼唤有灵魂的教育。教育是人的灵魂的教育，而非理智知识和认识的堆集[5]。教育本身意味着一棵树摇动另一棵树，一朵云推动另一朵云，一个灵魂唤醒另一个灵魂。如果一种教育未能触及人的灵魂，未能引起人的灵魂深处的变革，它就不能称之为教育。数学教育在人类发展乃至人类文明发展中所起的促进作用之所以无可替代，首先就表现在它能触及人类的灵魂，优化人们的思维，而不仅仅是知识和认识的堆积。
（二）使命和担当的需要
作为数学教育的重要组成部分，数学文化承载着落实立德树人的根本任务。数学文化是学生形成正確的数学观、世界观、人生观以及价值观等不可或缺的因素;是激发学生学习兴趣、点燃学习热情、培育人文思想不可缺少的养料;是培养数学思想方法、提升学科素养的重要载体。首先，数学教育对于人类理性思维的养成和发展具有特别重要的作用，而正是这种科学精神深刻地影响着人们认识世界的方式。人们在数学学习中掌握的逻辑分析方法、形成的探索性思维能力，有利于促进自身用数学的眼光观察世界，用数学的语言表达世界。数学结论的对错分明、数学真理的客观公正、数学证明的不容狡辩、数学演算的不能投机等，说明数学教育是培养人正直、诚实等品质的重要途径。其次，数学科学具有高度抽象性、严密逻辑性和广泛应用性，其蕴含的数学文化可以塑造学生勇敢、坚韧、心胸开阔的品质。数学家的生平故事，数学发展的曲折历程以及历史的真实问题等，都可以有效激发学生的学习兴趣，培育人文思想。再次，对学生进行一定程度的审美教育也是数学教学的重要目的之一，严谨、对称、简洁、奇异、和谐的数学美给人以独特的体验，那种由数学文化而生成的由美观而美好、由美好而美妙、由美妙而完美的审美情感和审美追求，不仅可以触发灵感、激发动力、陶冶情操，而且可以加深人们对美好生活的向往，从而引导人积极向上，追求真理，献身科学……这也是数学的最高“品质”和最高“精神”。
（三）现状变革的需要
当下的数学文化缺失现象仍很严重，具体表现为：课堂教学目标过于形式化，过于注重知识教学，忽视其人文特征;教学内容过于表面化，缺少对数学本质及思想的探究;教学过程过于模式化，没有实施根据学生个性特点施教的合作式、探究式等教学方法。虽然近两年各地高考已经注重对数学文化的考察，这也引起部分老师的重视，但离数学教育的应有之义还相差很远。李保臻、孙名符等学者通过随机抽样的方法，分别选取甘肃省的兰州、陇南、临夏、白银、定西、平凉和武威 7 个城市的高中数学教师进行调查，通过数据分析和研究，得出如下结论：当前绝大多数教师的数学文化知识比较欠缺，部分教师对和中学数学竞赛有关的常识性知识或课程中涉及的古典数学名题、数学名人故事比较关心，而对与教学关系不大的数学文化知识不太关心或深究不够[6]。其主要原因有三：第一，价值冲突。多数教师教学之所以没将自身掌握的数学文化内容或教材中的数学文化传授给学生，主要是因为高中教学任务重，规定的数学教学课时不够用。教师们在教学时，有时会直接跳过考试不会涉及或很少涉及的数学文化内容，这样能够为学生讲解更多的数学知识。第二，数学文化素养缺失。数学文化素养并非教师一开始就具备的，大学阶段所学的数学文化知识毕竟有限，不足以应对教学所需，因此，教师的数学文化素养和施教能力需要教师在长期的教学实践中去积淀，然而他们根本没有时间与精力在这方面进行提升。第三，数学文化的教学与数学知识内容的教学在实际课堂上融合困难。有时候“为了文化而文化”的色彩比较重，“无病呻吟”的现象也时常出现，教师文化施教能力和素养的欠缺致使他们的数学文化教学“心有余而力不足”。
三、数学文化何为
将数学的精神、思想方法深深地烙印在学生的头脑中，并长久地活跃于他们的日常行为中，这应是我们从事数学教育的理想和追求。作为教师，我们必须从立德树人的高度，加强学习、提高认识、勇于实践，努力提高自身数学文化的素养和能力。
（一）认知层面
我们应充分认识数学文化的价值，以德树人。学科育人不应停留在口号上，作为学习人数最多，学习时间最长的基础学科之一，数学应承担起应有的责任，数学文化在数学教育中应当发挥更为重要的作用。关注并激发学生的数学文化意识，推进数学文化教育，已然成为当今数学教育改革的一个重要特征。《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确要求，在实施教学时，应将数学文化融入数学教学活动中，渗透在日常生活中，引导学生了解……提升学生的科学精神、应用意识和人文素养[7]。
数学是一门集“真、善、美”于一体的科学，数学文化是其中不可或缺的一部分，教师作为学科核心素养培育的主导者必须提高对数学文化价值的认识。
（二）机制层面
1.教师需加强对数学文化知识的学习
大多数教师把自主学习、提升自我的主要动力归结为应试，没有从新课程实施的高度和自身专业发展的长远目标及学科素养提升的高度，重视和加强对数学文化知识的汲取。由于教师欠缺所需要的数学知识，致使学生学习到的所谓的“数学文化”往往也只是浮于表面。教师应以立德树人的高度，从自身专业发展以及学生学科素养培育的角度出发，通过自学，参加校本教研、职后培训等途径，加强对数学文化的学习，提升自己的文化素养和施教能力。
2.教师需主动弥补课程设置的不足
当下的课程设置也不同程度地存在一些不足，以人教（A版）高中教材为例，必修的五本教材涉及的数学文化内容有46则，其中阅读类16则，正文类21则，扉页导言类2则，实习作业类2则，习题类9则，探究类1则，其他3则。对这些学习内容的要求并不高，大多数只是要求了解，只有1则是要求掌握。大多数学史的内容，往往只提供数学家的头像和简单的生平介绍[8]。另外编排方式也比较简单，呈现形式比较单一，与教学内容不够匹配，有些“牵强附会”。由此可见课程设置也存在不合理之处。因此，除了教材编写者应予以重视之外，作为施教主体的教师也应在力所能及的范围内予以弥补。
比如，在概念教学中，特别对学科“大概念”（如“函数”“向量”“数学思想、方法”等）的教学，除了要让学生明白概念“是什么”的基本问题外，还可以通过教材重组、内容整合和结构教学等办法让学生弄清概念“为什么”和概念“怎么样”的问题。在“内涵与外延”“结构与定义”“相称性与反变关系”“概念间的逻辑”等方面帮助学生理解概念本质及其蕴含的思想、文化内涵。通过遵循“个别地看—一般地看—比较地看—应用地看—整体地看”的顺序，达到“建立表象—定义概念—辨析概念—应用概念—形成体系”之目的[9]，以此弥补不同版本教材的课程设置之不足。
（三）实践层面
数学知识不是必然能转化成数学文化，学生对数学文化的感悟，有时需要教师的点拨、解释和鼓励，甚至需要教师的创造性劳动，因此，教师需要在实践中重视渗透。
1.优化文化渗透的教学方法
“五W三H”案例研究法简单易操作，能有效防止数学文化知识教学的浅表化。其含义是：何时、何背景（WHEN），何处（WHERE）的谁（WHO），为达到什么目的（WHY），做什么样（WHAT）的研究，怎么做的研究（HOW TO），研究得怎么样，即达到了什么程度，对数学乃至社会的发展有什么影响或价值（HOW MUCH），感觉如何（HAPPY）。比如，对平面上的点坐标（x， y），表面上看并没有什么文化意义，但是，如果从为什么要研究坐标，是哪个国家的谁在研究，是如何研究的，研究得怎么样，其价值何在，他们的自我感觉如何等方面去思考，其厚重程度就不一样了。学生一旦明白蕴含在变量x与y间的依存关系对中学数学核心概念——函数所产生的意义时，或者体会到笛卡尔、费马将代数与几何联系起来的创新思维时，顿悟到变量思想对变量数学的产生和发展所起的巨大作用时，为他们的拼搏精神和巨大成就而备受感动时，其文化意义便能凸显出来。如果我们对教材中的每一则数学文化案例，每一个概念、定义以及定理、公式做到“五W三H”式的研究，我们的数学教学就会更加丰满。
2.探寻文化渗透的教学路径
课堂和课外是两种不同的教学路径，其中课堂是主渠道。为了让数学文化走进课堂，教师应在情境创设、知识生成、解题教学、数学应用、概念理解、数学史选讲等处着力，创设有意义的情境，注重恰到好处的知识生成，选取有生长点的教学内容，选用数学史上的典型案例和关键事件，呈现对学生知识、能力、情感发展有明显触动作用的素材，以揭示数学的本质、本源，体现数学文化的趣味性及美学特点。同时教师还应以学生已有的知识经验为基础，改变评价策略，注重文化考查。课外是课堂的重要补充，主要包括以下两个方面：
（1）在日常生活中浸润
生活中处处有数学，教师可以通过数学小论文、故事会、演讲比赛、黑板报、音乐欣赏会等学生喜闻乐见的形式，介绍数学家的故事、钢琴曲线的原理……以此引起学生的好奇心，激发学生的学习兴趣。数学本身就是一种语言，把数字融入我们的言语之中，可以潜移默化地对学生进行文化的浸润，如“不管三七二十一”“三下五除二”“隔三差五”“九五之尊”“万无一失”“三教九流”“有绝对把握”“小概率事件”“指数爆炸”“直线上升”“挑战极限”“人生轨迹”等常用语都蕴含着数学文化的意义。只要做有心人，生活中时时有数学，处处有文化，到处充满着数学文化的孕育点。
（2）在研究性学习中着力
教师可以结合施教内容带领、引导和布置学生利用假期和业余时间进行研究性学习，辅以一定的方法指导，提供一些文献、网站或参考资料，并进行开题、中期评估、结题论证，从研究态度、选题、研究过程和结果等方面进行评价，并计入学分。教师要带头研究，学会在数学文化的孕育点和生长点着力，在实践中不断提高数学文化课题的指导能力和水平。以人教版“一次函数”的教学为例，可以安排数学学习兴趣小组进行研究性学习：首先，抛出“直线上升”的常用语，然后让学生从熟悉的生活情境（如爬山队员所处的海拔与气温的关系）中尝试提炼解析式。这时教师可提供一些素材，辅以一定的方法并限定时间，具体可按如下步骤进行：第一步：由来——尝试提出一次函数的名称;第二步：概括——初步分析出一次函数的解析式所具有的属性;第三步：抽象——提出函数的定义;第四步：辨析——联系旧知，如一次多项式、正比例函数等进行比较分析;第五步：应用——通过正、反例的判断加以辨别应用;第六步：融合——将概念纳入自己关于函数概念体系的认知结构[9];第七步：文化熏陶——网上寻找和学习与函数概念有关的数学家莱布尼茨、罗巴切夫斯基、牛顿等的故事;第八步：感悟——体会函数概念对数学的影响、撰写数学小论文。最后进行交流、评比。学生在学习中研究，在研究中学习，有趣、有味、有知。如此，学生学习的兴趣浓了，学习数学的方法会了，良好的习惯养成了，学科素养也提升了。
数学文化是数学的硬核，只要有数学，就一定有数学文化，它实实在在地展现在学生的面前。我们不仅是教数学，而是用数学育人。教师不应满足于做科学的传话筒、知识的搬运工，应志于道，志于育人，志于隐藏在深处的数学文化。当教师真正把数学文化融入课堂和生活中，真正将知识与文化和谐统一于一体时，学生就会更理解数学、热爱数学，领悟到数学之真，感悟到数学之善，体悟到数学之美。
参考文献：
[1]杨叔子.数学很重要 文化很重要 数学文化也很重要[J].数学教育学报，2014（6）：4.
[2]刘洁民.数学文化：是什么和为什么[J].数学通报，2010（11）：12.
[3]杨豫晖，吴娇，宋乃庆.中国数学文化研究述评[J].数学教育学报，2015（1）：88.
[4]R.柯朗，H.罗宾.什么是数学[M].左平，张饴慈，译.上海：复旦大学出版社，2006：1.
[5]杰克森.什么是教育[M].吴春雷，马林梅，译.合肥：安徽人民出版社，2012：4.
[6]李宝臻，孙名符.新课改背景下高质数学教师数学史与数学文化知识的现状调查[J].数学教育学报，2013（2）：50.
[7]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018：82.
[8]徐乃楠，孔凡哲，刘鹏飞.高中数学教科书中的数學史呈现研究[J].数学教育学报，2015（4）：62.
[9]潘超.数学概念深度教学须“五理解”[J].数学通报，2021（4）：28.
责任编辑：赵赟
收稿日期：2021-04-20
作者简介：刘权华，南京市教育科学研究所（江苏南京，212002），正高级教师，南京市学科带头人，江苏省“333”高层次人才工程中青年科学技术带头人。
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